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P14193 - P-adic Number Calculator

数学入门
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描述

p-adic 数是一种新开发的数字系统,其中 "p" 表示进制数 p。虽然有些奇怪,但它有助于解决标准数字系统难以解决的问题,甚至出现在许多菲尔兹奖获得者的论文中。通常,p-adic 数使用质数作为其进制,但在下面的例子中,为了便于说明,我们将使用 10 作为进制。

p-adic 数的一些基本性质如下。p-adic 数是形如 $ \cdots x_1 \cdots x_n $ 的数,例如 $ \cdots 66666666667 $(除了最后一位外全是 6)。这样的数有无限多位,最左边的省略号表示无限位数。p-adic 数的计算遵循通常的加法和乘法规则,例如:

**加法:** $ \cdots 12345 $(除了最后 5 位外全是 0)+ $ \cdots 45131 $(除了最后 5 位外全是 1)= $ \cdots 57476 $(与普通加法相同)

**乘法:** $ \cdots 2333 $(除了最后 4 位外全是 2)$ \times \cdots 1111 $(除了最后 4 位外全是 3)= $ \cdots 1963 $

计算过程如下:

![](/uploads/20260722/17846815102896.png)

从上可以看出,要确定一个 p-adic 数,我们必须确定它的每一位数字,就像上面括号中所做的那样。计算的输出不需要括号,因为它的每一位都是由计算规则确定的。

现在我们定义 p-adic 数 $ \cdots 00001 $(除最后一位外全为 0)为 1,$ \cdots 00000 $(全为 0)为 0,那么一些数具有一些奇妙的性质。例如,$ \cdots 66667 $(除最后一位外全是 6)乘以 3 的结果是 $ \cdots 00001 $,因此我们可以自然地定义 $ \cdots 66667 $(除最后一位外全是 6)为 $ 1/3 $;$ \cdots 99999 $(全是 9)加 1 的结果是 $ \cdots 00000 $(全是 0),因此我们可以定义 $ \cdots 99999 $(全是 9)为 $ -1 $。

在本问题的剩余部分,我们将从十进制切换到 7 进制,以确保逆元的存在。

你的任务是编写一个计算器程序,它接受一个 7 进制整数作为输入(记为 $ n $),并分别输出表示 $ 1/n $ 和 $ -1/n $ 的 7-adic 数的最后 10 位数字。

输入

一个 7 进制正整数 $ n $。当输入数字序列为 $ n_1...n_m $ 时,它表示一个 7-adic 数 $ \cdots 00n_1...n_m $(除了最后 $ m $ 位外全为 0)。

输入保证 $ m \le 8 $ 且 $ n_m > 0 $。

输出

按要求输出两个 7-adic 数,每个占一行。第一个表示 $ 1/n $ 的最后 10 位数字,第二个表示 $ -1/n $ 的最后 10 位数字,均以 7 进制表示。

样例

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    运行 ID:67149

    2019-01-24 15:06:36